viernes, 25 de enero de 2013

CUÁRTICA DE KLEIN



Representan en 3D una superficie simétrica del siglo XIX tipo Escher. Investigadores de la UNED llevan a la realidad una idea matemática teórica.

Investigadores de la Universidad Nacional de Educación a Distancia han conseguido representar en el espacio una complicada simetría de una ecuación del siglo XIX, la conocida como cuártica de Klein. Aunque se había escrito numerosa literatura científica al respecto, nunca se había conseguido de forma tan sencilla. Su belleza geométrica ha despertado el interés de otros científicos, que incluso la han reproducido en gomaespuma.

Este tipo de simetrías dieron origen a las representaciones de M. C. Escher. Las enigmáticas representaciones del artista M. C. Escher se nutren de geometría hiperbólica. Dentro de esta disciplina, una superficie muy compleja es la conocida como cuártica de Klein.

Investigadores de la UNED han conseguido representarla en tres dimensiones, por medio de técnicas geométricas y matemáticas. “La sorpresa fue mayúscula”, confiesa en la nota de prensa Antonio F. Costa, investigador del departamento de Matemáticas Fundamentales de la UNED y autor principal del estudio, publicado en Journal of Knot Theory and Its Ramifications.

La cuártica de Klein se remonta al siglo XIX. El matemático alemán Carl F. Gauss estableció, en los siglos XVIII y XIX, la relación entre ecuaciones y superficies. Años después, el también alemán Félix Klein profundizó en esta teoría y descubrió una superficie que le llamó profundamente su atención: la cuártica de Klein. Esta superficie tiene una ecuación con una simetría de orden 7, es decir, que se superpone siete veces hasta llegar a su punto original. Para visualizarla, Klein empleó una de las bases matemáticas de la teoría de la relatividad, que es la geometría hiperbólica.

Representación en 3D

La antigua representación, en dos dimensiones, ha sido ampliada a tres gracias a los matemáticos de la UNED y de la Universidad de Ginebra (Suiza), que también participan en el estudio. “Hemos conseguido representar la simetría de la cuártica de Klein de orden 7 en el espacio. Klein la dibujó en el plano hiperbólico”, explica Costa. Hasta el momento, se habían realizado muchas representaciones de la superficie e incluso se habían escrito libros enteros referidos a su visualización, pero nunca se había dibujado esta simetría de orden 7 de un modo tan sencillo.

La belleza y elegancia de formas del modelo desarrollado por los matemáticos de la UNED han despertado el interés de otro investigador de la Universidad de Almería, quien lo ha reproducido en gomaespuma. Además, su representación ha motivado a un profesor de informática de la Universidad de Eindovhen (Países Bajos), que ha conseguido visualizar la simetría como una rotación gracias a un programa informático.

Fuente: Tendencias21

SUPERFICIES DE GOMAESPUMA Y LA CUÁRTICA DE KLEIN

Construcción paso a paso.

A continuación, dice el "Mago Moebius", mostramos cómo hemos construido el modelo de Costa y Quach-Hongler de la cuártica de Klein, a partir de un simple heptágono regular de gomaespuma. La elasticidad de este material nos permite hacer los medios giros centrales. Durante la construcción identificamos la configuración de Klein estirada que permite hacer los pegados en el borde, respetando la simetría de orden 7:
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Juegos Topológicos

1 comentario:

Lenetta Carnes dijo...


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