Mantel de Cuadritos es un enigma de la colección de videos:
"Juegos para armar ideas"
Este modelo presenta un acertijo de mediano grado de dificultad.
Ver video con instrucciones.
Pintura modular con un enigma. Ejercicio 2
Pinturas que no tienen fin
Pinturas que no tienen fin -1, pertenece a la colección de videos “Juegos para armar ideas”. Este proyecto es parte de los ejercicios del programa “Desarrollo de las habilidades del pensamiento y la creatividad”
Lilia Morales y Mori es autora del libro Hacia la creatividad cuántica, de donde se hará una selección de temas para la compilación de los videos. Este primer ejercicio está orientado al desarrollo y comprensión de los espacios polivariantes en el módulo 16.
CUÁRTICA DE KLEIN
Representan en 3D una superficie simétrica del siglo XIX tipo Escher. Investigadores de la UNED llevan a la realidad una idea matemática teórica.
Investigadores de la Universidad Nacional de Educación a Distancia han conseguido representar en el espacio una complicada simetría de una ecuación del siglo XIX, la conocida como cuártica de Klein. Aunque se había escrito numerosa literatura científica al respecto, nunca se había conseguido de forma tan sencilla. Su belleza geométrica ha despertado el interés de otros científicos, que incluso la han reproducido en gomaespuma.
Este tipo de simetrías dieron origen a las representaciones de M. C. Escher. Las enigmáticas representaciones del artista M. C. Escher se nutren de geometría hiperbólica. Dentro de esta disciplina, una superficie muy compleja es la conocida como cuártica de Klein.
Investigadores de la UNED han conseguido representarla en tres dimensiones, por medio de técnicas geométricas y matemáticas. “La sorpresa fue mayúscula”, confiesa en la nota de prensa Antonio F. Costa, investigador del departamento de Matemáticas Fundamentales de la UNED y autor principal del estudio, publicado en Journal of Knot Theory and Its Ramifications.
La cuártica de Klein se remonta al siglo XIX. El matemático alemán Carl F. Gauss estableció, en los siglos XVIII y XIX, la relación entre ecuaciones y superficies. Años después, el también alemán Félix Klein profundizó en esta teoría y descubrió una superficie que le llamó profundamente su atención: la cuártica de Klein. Esta superficie tiene una ecuación con una simetría de orden 7, es decir, que se superpone siete veces hasta llegar a su punto original. Para visualizarla, Klein empleó una de las bases matemáticas de la teoría de la relatividad, que es la geometría hiperbólica.
Representación en 3D
La antigua representación, en dos dimensiones, ha sido ampliada a tres gracias a los matemáticos de la UNED y de la Universidad de Ginebra (Suiza), que también participan en el estudio. “Hemos conseguido representar la simetría de la cuártica de Klein de orden 7 en el espacio. Klein la dibujó en el plano hiperbólico”, explica Costa. Hasta el momento, se habían realizado muchas representaciones de la superficie e incluso se habían escrito libros enteros referidos a su visualización, pero nunca se había dibujado esta simetría de orden 7 de un modo tan sencillo.
La belleza y elegancia de formas del modelo desarrollado por los matemáticos de la UNED han despertado el interés de otro investigador de la Universidad de Almería, quien lo ha reproducido en gomaespuma. Además, su representación ha motivado a un profesor de informática de la Universidad de Eindovhen (Países Bajos), que ha conseguido visualizar la simetría como una rotación gracias a un programa informático.
Fuente: Tendencias21
SUPERFICIES DE GOMAESPUMA Y LA CUÁRTICA DE KLEIN
Construcción paso a paso.
A continuación, dice el "Mago Moebius", mostramos cómo hemos construido el modelo de Costa y Quach-Hongler de la cuártica de Klein, a partir de un simple heptágono regular de gomaespuma. La elasticidad de este material nos permite hacer los medios giros centrales. Durante la construcción identificamos la configuración de Klein estirada que permite hacer los pegados en el borde, respetando la simetría de orden 7:
ÁRBOL DE PITÁGORAS
Un fractal es una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos que tienen la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian, cualquiera que sea la escala con que se les observe. Por tanto son objetos semigeométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.
Durante siglos se ha ilustrado el Teorema de Pitágoras por medio de una figura que consta de un triángulo rectángulo y tres cuadrados. Con esta figura se puede construir el árbol de Pitágoras, pues basta con reducir y copiar la figura base, de modo que se ajuste a las dimensiones de los cuadrados menores. Este fractal puede ser simétrico o asimétrico dependiendo de si los catetos del triángulo rectángulo que aparece en la figura inicial son iguales o no.
El árbol de Pitágoras es un fractal relativamente reciente, fue construido por un profesor de matemáticas holandés llamado Albert E. Bosman (1891-1961) en 1942. El fractal se origina partiendo de un cuadrado, y lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representar el teorema de Pitágoras.
Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L. Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.
CONSTRUCCIÓN
La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre esta plaza se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de las plazas coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos plazas más pequeñas, hasta el infinito. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.
ÁREA
La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½√2)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite en el límite n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, y el árbol en realidad tiene un área finita, ya que encaja dentro de una caja de 6 x 4.
Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 menor que A, menor que 18, que puede ser reducido aún más con un esfuerzo adicional. Poco se sabe acerca del valor real de A.
Fuente: Wikipedia
LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA NATURALEZA
Benoît Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales». Nació en Varsovia (1924-2010) Es uno de los matemáticos más importantes de nuestro tiempo, desarrolló su trabajo en numerosos campos de la ciencia y el arte. El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.
CIENCIA FICCIÓN Y MARVIN MINSKY
FRAGMENTO DE UNA ENTREVISTA A MARVIN MINSKY
La obra de Marvin Minsky puede resumirse en dos de sus libros: 'La sociedad de la mente', editada en Buenos Aires pero inconseguible, y 'The Turing Option', también editada en castellano. El primer libro es la explicación de sus ideas sobre la inteligencia y el funcionamiento del cerebro, base para todo su trabajo de investigación en inteligencia artificial. El otro es una novela de ciencia ficción, escrita junto a Harry Harrison. Ambos libros expresan su fe en la posibilidad de crear una computadora o un programa capaz de pensar como lo hace un humano.
La base de sus ideas es que la mente no es una unidad, sino una acumulación de 'agentes', cada uno con una tarea específica. Estos agentes interactúan entre sí y el resultado es lo que nosotros llamamos 'pensamiento' o 'comportamiento'. Puede haber dos agentes que traten de hacer lo mismo pero de formas distintas, puede que otros tengan objetivos opuestos, por lo que un tercero debe decidir que hacer. El resultado es una lucha de intereses en nuestro cerebro, de la que somos testigos cuando no sabemos si ir al cine o quedarnos en casa viendo televisión, o no podemos decidirnos entre la morocha de enfrente y la rubia de la otra cuadra. La mente es una sociedad, con sus alianzas, sus guerras, sus discusiones, con agentes que ceden en parte para obtener beneficios luego, o con intrigas para obtener el poder a costa de los demás.
¿Cuando cree que será posible tener máquinas que actúen como un cerebro humano?
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No hay forma de saber cuando, no sabemos cuanto tiempo va a tomar resolver cada problema. Los investigadores no se ponen de acuerdo en qué es lo próximo que hay que hacer, y hacen muchas cosas distintas. La mayoría están equivocados. Eventualmente van a descubrir qué es lo que funciona. La gente estuvo trabajando en esto por unos cincuenta años, y ahora las computadoras pueden hacer muchas cosas interesantes.
Estoy seguro de que en cincuenta años más van a poder hacer casi todo lo que la gente puede hacer. Pienso que la ciencia de la inteligencia artificial es la parte más avanzada de la sicología hoy en día. Cuando aprendamos cómo hacer que una máquina aprenda, probablemente aprendamos algo sobre cómo aprende la gente. No va a ser lo mismo, porque una persona es más complicada que una computadora de hoy, pero todo lo que descubrimos sobre computadoras nos da más información sobre lo que es posible para la gente.Otra forma de decirlo es: antes de las computadoras, la sicología estaba trabada, porque los psicólogos no tenían idea de cómo podía funcionar una máquina que aprendiera.
Ahora, con la inteligencia artificial, tenemos unas diez teorías sobre cómo hacer que las cosas aprendan. Estoy seguro de que los humanos usan cuatro o cinco de esas formas, y las otras no se aplican al cerebro. Ahora los psicólogos tienen muchas ideas nuevas para usar.
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¿Qué busca en una historia de ciencia ficción?
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Es una pregunta maravillosa, porque estamos teniendo una entrevista y me preguntas sobre qué va a pasar dentro de cincuenta años. Creo que para predecir el futuro hay que pensar mucho, y es mucho trabajo. Yo no hago mucho ese trabajo, si quiero saber lo que va a pasar dentro de cincuenta años voy a buscar esas cuatro personas, escritores de ciencia ficción. Es su profesión.
Dicen 'si tuviésemos realidad virtual a bajo costo, ¿qué va a pasar?'.
La última novela de Greg Egan, no me acuerdo de su nombre [Ciudad Permutación], es una novela acerca de la realidad virtual, donde si uno es rico puede ser copiado dentro de la máquina, hacer una réplica de uno dentro de la computadora, para siempre. ¿Cómo cambiaría esto a la sociedad? Sé que esto va a pasar, no sé cuando. Pero hace falta uno de estos escritores con imaginación para poder entender cómo cambiaría esto al mundo. Antes de esta gente mi escritor favorito era Larry Niven.
Ver entrevista completa realizada por Fernando Bonsembiante en: http://www.alanmooresenhordocaos.hpg.ig.com.br/entrevistas85.htm
Diseños fractales y tanka por Lilia Morales y Mori
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IMPONDERABLE CAOS
Cosmos en la
memoria de los hombres.
El todo inmerso
en la nada. Vacío,
imponderable caos.
FRACTALIZANDO UN FRACTAL
Interfractal de una composición del rostro del escritor de ciencia-ficción Philip K. Dick
Philip Kendred Dick nació prematuramente junto a su hermana gemela Jane, el 2 de Marzo de 1928, en Chicago. Jane murió trágicamente pocas semanas después. La influencia de la muerte de Jane fue una parte dominante de su vida y obra. Sus padres se divorciaron en 1932 y Dick se quedó con su madre. De muy joven comenzó a leer y escribir ciencia ficción y en su adolescencia publicó regularmente historias cortas en el Club de Autores Jóvenes, una columna del Berkeley Gazette.
Durante estos años su salud no fue buena, sufría frecuentes ataques de asma y periodos de agorafobia (fobia a los espacios abiertos, que también Asimov padeció, aunque en menor medida).
A los 18 años, dejó a su madre y se fue a vivir solo. Entre tanto, continuó en contacto con la comunidad intelectual de Berkeley mientras trabajaba como dependiente. El mismo Dick contó que llegó a sufrir inexplicables desmayos en su lugar de trabajo. En 1948, con solo veinte años, Dick contrajo el que fue el primero de un total de cinco matrimonios. Durante la década de los 50, escribió varias novelas de ciencia-ficción.Durante estos años su salud no fue buena, sufría frecuentes ataques de asma y periodos de agorafobia (fobia a los espacios abiertos, que también Asimov padeció, aunque en menor medida).
Su primer éxito fue la novela Lotería solar (1955), y más tarde El hombre en el castillo (1975). A pesar de la paranoia y la animosidad hacia su tercera esposa, en la época de ese matrimonio, Dick inició una de sus más prolíficas y brillantes épocas como escritor. Obras como El hombre en el castillo, Tiempo de Marte, y Los tres estigmas de Palmer Eldricht, fueron escritas durante aquel periodo.
Retirado en una cabaña para alejarse de sus conflictos domésticos, Dick escribió la casi increíble cifra de once novelas entre 1963 y 1964. Su adicción a las drogas le produjo, entre otros problemas, el cuarto divorcio. Después de una tentativa de suicidio y una corta estancia en un centro de rehabilitación, Dick volvió a reencontrarse a si mismo. Su literatura parece en ocasiones escrita por un paranoico y sus angustiosos entornos, como en Ubik y en Fluyan mis lágrimas.
Una de las mayores virtudes de Dick es que produjo ciencia ficción seria y, sobre todo asequible, para el gran público. Fue un escritor consistente y brillante, y de los más originales del género. Curiosamente, es un autor mucho más apreciado en Europa que en los propios Estados Unidos, habiendo países, donde es el escritor de ciencia-ficción por excelencia, en detrimento de otros ilustres como Asimov, Clarke o Bradbury.
En cualquier caso Dick es un autor controvertido, siendo sorprendente para algunos críticos que, habiéndose especializado en la irracionalidad, en el seno de una literatura tan básicamente apartada de ella como es la ciencia-ficción, haya tenido un reconocimiento tan profundo. Philip. K. Dick murió en 1982, de un fallo cardiaco, a la edad de 53 años, dejando un libro inacabado y, sin duda, muchas ideas sin desarrollar.
Fuente: Philip K. Dick
LOS TRES MUNDOS DE PENROSE
ROGER PENROSE PROPONE UN MODELO FÍSICO DE LA CONCIENCIA
Roger Penrose es uno de los pensadores más originales y creativos de la actualidad y es considerado uno de los físicos más importante que ha trabajado en Relatividad General desde Einstein.
Durante las dos últimas décadas, Penrose ha escrito varios libros que explican su modelo físico de la conciencia. Su última publicación, El camino hacia la realidad (2005), ofrece al lector una revisión crítica, novedosa y profunda sobre los entresijos de las teorías físicas y matemáticas, que lo acercan a una mejor comprensión de la realidad.
Se trata claramente de la obra científica cumbre de quien ha conseguido una especial maestría para desenvolverse en los complejos mundos de la física y la matemática. Sólo en el último capítulo, tras más de mil páginas de física-matemática, subraya la estructura de la realidad a partir de tres mundos (matemático, físico y psíquico), como ya hiciera en obras anteriores. Esta guía completa de las leyes del universo es, digamos, el aval físico-matemático que origina y fundamenta su modelo biofísico de la conciencia.
LOS TRES MUNDOS DE PENROSE
La realidad es una sola unidad clasificable en tres mundos. Por su consistencia interna inmutable el mundo matemático ocupa una posición especial. Al mejor estilo platónico, las matemáticas habitan en un mundo del ser, eterno, armónico y perfecto. Los elementos matemáticos poseen una existencia que sólo puede ser descubierta a través de la inteligencia. Decimos, pues, que es un mundo inteligible.
Existe también un mundo físico. Es la realidad sensible y perceptible a través de las sensaciones. Las ciencias físicas estudian las propiedades de este mundo dinámico e imperfecto, que son susceptibles de comprobación experimental. Es un mundo de luz y de procesos materiales explicables mediante cuatro interacciones básicas descritas mediante elementos del mundo matemático. El fundamento ontológico del mundo físico es matemático.
Además, Penrose incluye un mundo de experiencias psíquicas, personales e intersubjetivas. Es el mundo psíquico donde acontece la conciencia. La conciencia es una propiedad psíquica de algunos seres materiales del mundo físico. Los animales superiores participan de esta dimensión psíquica de la realidad. No podemos decir lo mismo de una roca o de un átomo. Sólo una parte del mundo físico ha producido conciencia. Existe, pues, una relación entre los mundos físico y psíquico.
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Por último, Penrose establece una interrelación entre el mundo psíquico y el matemático, que termina de unificar la realidad. El mundo matemático es aprehendido por un ser físico y consciente concreto. El hombre es capaz de conocer el mundo matemático. Es el único ser del mundo psíquico capaz de contemplar las verdades matemáticas. Gracias al hombre, surge la unidad de los tres mundos: una parte del matemático soporta lo físico, una parte del físico lo psíquico y una parte del psíquico contempla lo matemático. En síntesis, vivimos en una única realidad con tres dimensiones: matemática, física y psíquica.
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Fuente de este artículo: http://www.tendencias21.net/Penrose-sienta-las-bases-de-una-biofisica-cuantica-de-la-mente_a1406.html
Diseños fractales y haikus por Lilia Morales y Mori
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AUSENTE EL DÍA
Como rocío
se diluye en mi mano
la suave brisa.
Besa en el aire
el espacio celeste
de mil luceros.
La luna ilusa
emerge con la noche
ausente el día.
EL AMOR HABITA EN EL CEREBRO
EL AMOR SE LIMITA A IMPULSOS ELÉCTRICOS
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LA NEUROFISIOLOGÍA Y EL AMOR
El amor no está en el aire, como decía la canción, sino sólo en nuestra cabeza. Un equipo de investigadores compuesto por un neurocientífico, un antropólogo y un psicólogo social, ha descubierto la relación neurofisiológica del amor con nuestros sistemas cerebrales por medio de imágenes de resonancia magnética.
Tal como explica la American Physiological Society en un comunicado, el estudio ha analizado las respuestas del cerebro de 17 hombres y mujeres jóvenes que se describían como loca y recientemente enamorados. Los resultados se han divulgado en el Journal of Neurophysiology. Este estudio, que libera de todo romanticismo al amor limitándolo a impulsos eléctricos, señala además que el estado inicial del enamoramiento tiene más que ver con la motivación, el beneficio y otros aspectos causales del comportamiento humano, que con las emociones o con la atracción sexual. Según los investigadores, podríamos parecernos más de lo que creemos a otros mamíferos, puesto que en la elección de nuestras parejas –a través del enamoramiento inicial- se ponen en marcha respuestas cerebrales similares a las de los animales, y el fin es instintivo: buscar la continuación de la especie a través de la transferencia genética.
ATRACCIÓN SEXUAL Y AMOR
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El estudio ha descubierto asimismo que las regiones del cerebro que se activan con el amor son diferentes a las que se activan en el caso de la atracción sexual. Esto se ha sabido porque cuando los investigadores mostraron a los participantes las fotos de sus enamorados, las áreas cerebrales de éstos se superpusieron sólo parcialmente con las áreas del cerebro asociadas con el deseo sexual.
Utilizando imágenes de resonancia magnética y otras fórmulas de medición, los investigadores han llegado a dos conclusiones principales. La primera señala que en su estado inicial, el amor romántico está asociado con regiones subcorticales del cerebro, relacionadas con la consecución de un beneficio y ricas en dopamina, una sustancia que produce una sensación de intenso bienestar cuya producción aumenta con el amor hasta en un 50%.
La segunda conclusión a la que se ha llegado es que el amor pone en marcha los sistemas cerebrales asociados con el impulso de conseguir un beneficio. Estas áreas del cerebro que se activan con el amor integran una gran cantidad de información relacionada con la memoria más temprana de cada persona y con su propia noción de la belleza.
Diseños Fractales y Tanka por Lilia Morales y Mori
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IMPULSOS ELÉCTRICOS
Imagino... al
contacto, con tu cálida
piel de embriagante
aroma, el paraíso
insalvable del éxtasis.
Sexo y amor
en mi cerebro rondan
en la discordia
de un fino impulso eléctrico
que me aturde y fascina.
Ver artículo completo en Tendencias21
GIRA EL UNIVERSO
Texto Haiku para Fractales
Gira en el mundo
la forma repetible
como los sueños.
Gira la elipse
hasta el mismo infinito
sobre su centro.
Son circulares
todos los pensamientos
que se repiten.
EFECTO MARIPOSA
ZONA DE DESASTRE
En el 75, una profesora en la universidad en un curso de biología molecular comentó que la mejor definición de caos era la recámara de uno de sus hijos durante los fines de semana que el joven llegaba a casa. No obstante, el adolescente aducía que era terrible llegar a su casa porque la señora de la limpieza le dejaba todo hecho un caos pues nada de lo que él había dejado de tal o cual forma permanecía en su lugar. Finalmente la profesora optó por poner un letrero en la puerta de la habitación de su hijo con la siguiente advertencia: ZONA DE DESASTRE. No se volvió a hacer la limpieza en ese cuarto y el joven a partir de ese momento tuvo la certeza de saber donde estaba cada cosa en su habitación.
La ciencia clásica acaba donde el caos empieza. Mientras los físicos indagan las leyes naturales, el mundo adolece de una ignorancia especial en lo que concierne a los desórdenes de la atmósfera y del mar, a las fluctuaciones de las poblaciones de animales y plantas; y a las oscilaciones del corazón y el cerebro. El comportamiento irregular de la naturaleza, su parte discontinua y variable, ha sido un rompecabezas a los ojos de la ciencia.
LA MODERNA TEORÍA DEL CAOS
En la década de los 70, un grupo de científicos estadounidenses y europeos comenzó a fraguarse camino en el desorden, eran matemáticos, físicos y biólogos, y todos buscaban nexos entre las diferentes clases de irregularidades. Junto con la teoría de la relatividad y la cuántica, la moderna teoría del caos en sistemas dinámicos forma parte de la gran evolución de la física del siglo XX. Al igual que las otras dos teorías, el caos ataca a los principios newtonianos. La relatividad eliminó la idea del espacio y el tiempo absolutos; la teoría cuántica acabó con la posibilidad de un proceso de medición controlable; y el caos terminó con las teorías de Laplace de la predictibilidad determinista.
De las tres revoluciones, la del caos importa al mundo que vemos y tocamos, a los objetos de proporción humana. La experiencia cotidiana y las imágenes reales de cuanto nos rodea se han convertido en objeto de investigación.
FENÓMENOS CAÓTICOS
Desde mediados de la década de los 70, el término caos ha aparecido cada vez con más frecuencia en la literatura científica ya que esta nueva teoría ha nacido con ciertas ventajas con respecto a la relatividad y a la mecánica cuántica. Los fenómenos supuestamente caóticos suelen poder verse y apreciarse sin necesidad de telescopios ni microscopios, y pueden registrarse sin cámaras de alta velocidad o con exposición.
El caos se encuentra tanto en sucesos cotidianos como la caída de una hoja o el ondear de una bandera, como en otros tan complejos como las fluctuaciones climáticas, las trayectorias de los cometas o la evolución del propio sistema solar.La teoría del caos se caracteriza por la descripción matemática del comportamiento, en extremo complejo y previsible sólo dentro de unos horizontes temporales limitados, de sistemas físicos que en apariencia pueden parecer muy simples. El nombre de caos y el adjetivo de caótico son usados para describir el comportamiento temporal de un sistema cuando dicho comportamiento es aperiódico y aparentemente aleatorio o ruidoso. La palabra clave aquí es aparentemente. Bajo esta aparente aleatoriedad caótica subyace un determinado y riguroso orden.
EFECTO MARIPOSA
La imagen que más ha contribuido a difundir la teoría del caos es el conocido efecto mariposa que hace mención a la especial sensibilidad de los sistemas caóticos a las condiciones iniciales. La expresión hace referencia y viene a explicar que una pequeña perturbación del estado inicial de un sistema puede traducirse, en un breve lapso de tiempo, en un cambio importante en el estado final del mismo. Volviendo al popular efecto mariposa, éste vendría a decir de forma coloquial que ''...si agita hoy, con su aleteo, el aire de Pekín, una mariposa puede modificar los sistemas climáticos de Nueva York el mes que viene.'' (Gleick, 1988)
No obstante el caos va más allá de este efecto, si sólo nos quedáramos aquí nos encontraríamos en medio del más puro azar. Pero en el caos hay más que azar, el caos encierra en sí mismo una fina estructura geométrica, un orden detrás de la aparente casualidad y esto realmente es algo que siempre me ha inquietado y que me obliga de tiempo en tiempo a indagar más sobre este tema que espero poder compartir más adelante con ustedes cuando obtenga más información al respecto. Por lo pronto pueden consultar este artículo que encontré en Internet y que he querido compartir con ustedes haciendo este breve resumen.
Fuente del texto: http://chaos.usc.es/WEB_CAOS/inicio_1b.htm
GEOMETRÍA FRACTAL
LA NATURALEZA DE LAS FORMAS, O LAS FORMAS DE LA NATURALEZA
Las formas geométricas que entre otras propiedades, contienen una imagen de sí mismas en cada una de sus partes, se les ha llamado fractales, y hace ya más de una década que inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza. Su lenguaje se permeó a campos increíblemente diversos de las ciencias naturales y sociales, y ha hecho de las matemáticas un instrumento novedoso para las artes.
Las herramientas de la geometría fractal son, hoy día, elementos insustituibles en el trabajo de muchos físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, economistas, etc., pues les han permitido reformular viejos problemas en términos novedosos, y tratar problemas complejos de forma muy simplificada. Las formas fractales, que durante mucho tiempo se consideraron meras "monstruosidades" geométricas e inaplicables divertimentos matemáticos, subyacen en fenómenos y estructuras tan variadas como la distribución de las estrellas del Universo, la ramificación alveolar en los pulmones, la frontera difusa de una nube, las fluctuaciones de precios en un mercado, y aun en la frecuencia de repetición de las palabras de este texto.
Hay fractales en los depósitos y agregados electroquímicos, y en la trayectoria de las partículas de polvo suspendidas en el aire. Fractales escondidos en la dinámica de crecimiento poblacional de colonias de bacterias, y detrás de todo flujo turbulento. Fractales en todas partes; fractales en una lista interminable de objetos reales que son testigos mudos de una enfermiza obsesión de la naturaleza.
Quizá uno de los ejemplos más representativos de estas figuras sea la curva construida por la matemática sueca Helge von Koch en 1904 (Peterson, 1988). Para dibujarla basta tomar un triángulo equilátero como figura inicial (ver figura) y añadir en el centro de cada uno de sus lados un nuevo triángulo equilátero tres veces más pequeño que el original. Repitiendo indefinidamente este proceso se obtiene la curva o copo de nieve de Koch.
Éstas son las primeras cuatro etapas del proceso de iteración que da lugar a a la curva de Koch.
Se repite triángulo sobre triángulo hasta el límite de cualquier imaginación, la curva así construida resulta indibujable, pues la forma del contorno aparece nuevamente en todos los niveles. Cada punto sobre ella, si lo exploráramos con una lupa, nos revelaría siempre los mismos secretos; triángulo sobre triángulo, indefinidamente. A entidades como ésta se les denomina autosimilares, pues cada una de sus partes es igual al total (su apariencia es la misma a cualquier escala) y desde el punto de vista matemático poseen ciertas propiedades peculiares que las distinguen (Briggs, 1990).
Fuente del texto en esta interesante página de acústica musical:http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/curiosidades.html
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