martes, 18 de diciembre de 2012

ÁRBOL DE PITÁGORAS


Un fractal es una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos que tienen la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian, cualquiera que sea la escala con que se les observe. Por tanto son objetos semigeométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.

Durante siglos se ha ilustrado el Teorema de Pitágoras por medio de una figura que consta de un triángulo rectángulo y tres cuadrados. Con esta figura se puede construir el árbol de Pitágoras, pues basta con reducir y copiar la figura base, de modo que se ajuste a las dimensiones de los cuadrados menores. Este fractal puede ser simétrico o asimétrico dependiendo de si los catetos del triángulo rectángulo que aparece en la figura inicial son iguales o no.


El árbol de Pitágoras es un fractal relativamente reciente, fue construido por un profesor de matemáticas holandés llamado Albert E. Bosman (1891-1961) en 1942. El fractal se origina partiendo de un cuadrado, y lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representar el teorema de Pitágoras.

Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L. Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.

CONSTRUCCIÓN

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre esta plaza se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de las plazas coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos plazas más pequeñas, hasta el infinito. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.

 
ÁREA

La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½√2)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite en el límite n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, y el árbol en realidad tiene un área finita, ya que encaja dentro de una caja de 6 x 4.

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 menor que A, menor que 18, que puede ser reducido aún más con un esfuerzo adicional. Poco se sabe acerca del valor real de A.

Fuente: Wikipedia

 

1 comentario:

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