viernes, 25 de enero de 2013

CUÁRTICA DE KLEIN



Representan en 3D una superficie simétrica del siglo XIX tipo Escher. Investigadores de la UNED llevan a la realidad una idea matemática teórica.

Investigadores de la Universidad Nacional de Educación a Distancia han conseguido representar en el espacio una complicada simetría de una ecuación del siglo XIX, la conocida como cuártica de Klein. Aunque se había escrito numerosa literatura científica al respecto, nunca se había conseguido de forma tan sencilla. Su belleza geométrica ha despertado el interés de otros científicos, que incluso la han reproducido en gomaespuma.

Este tipo de simetrías dieron origen a las representaciones de M. C. Escher. Las enigmáticas representaciones del artista M. C. Escher se nutren de geometría hiperbólica. Dentro de esta disciplina, una superficie muy compleja es la conocida como cuártica de Klein.

Investigadores de la UNED han conseguido representarla en tres dimensiones, por medio de técnicas geométricas y matemáticas. “La sorpresa fue mayúscula”, confiesa en la nota de prensa Antonio F. Costa, investigador del departamento de Matemáticas Fundamentales de la UNED y autor principal del estudio, publicado en Journal of Knot Theory and Its Ramifications.

La cuártica de Klein se remonta al siglo XIX. El matemático alemán Carl F. Gauss estableció, en los siglos XVIII y XIX, la relación entre ecuaciones y superficies. Años después, el también alemán Félix Klein profundizó en esta teoría y descubrió una superficie que le llamó profundamente su atención: la cuártica de Klein. Esta superficie tiene una ecuación con una simetría de orden 7, es decir, que se superpone siete veces hasta llegar a su punto original. Para visualizarla, Klein empleó una de las bases matemáticas de la teoría de la relatividad, que es la geometría hiperbólica.

Representación en 3D

La antigua representación, en dos dimensiones, ha sido ampliada a tres gracias a los matemáticos de la UNED y de la Universidad de Ginebra (Suiza), que también participan en el estudio. “Hemos conseguido representar la simetría de la cuártica de Klein de orden 7 en el espacio. Klein la dibujó en el plano hiperbólico”, explica Costa. Hasta el momento, se habían realizado muchas representaciones de la superficie e incluso se habían escrito libros enteros referidos a su visualización, pero nunca se había dibujado esta simetría de orden 7 de un modo tan sencillo.

La belleza y elegancia de formas del modelo desarrollado por los matemáticos de la UNED han despertado el interés de otro investigador de la Universidad de Almería, quien lo ha reproducido en gomaespuma. Además, su representación ha motivado a un profesor de informática de la Universidad de Eindovhen (Países Bajos), que ha conseguido visualizar la simetría como una rotación gracias a un programa informático.

Fuente: Tendencias21

SUPERFICIES DE GOMAESPUMA Y LA CUÁRTICA DE KLEIN

Construcción paso a paso.

A continuación, dice el "Mago Moebius", mostramos cómo hemos construido el modelo de Costa y Quach-Hongler de la cuártica de Klein, a partir de un simple heptágono regular de gomaespuma. La elasticidad de este material nos permite hacer los medios giros centrales. Durante la construcción identificamos la configuración de Klein estirada que permite hacer los pegados en el borde, respetando la simetría de orden 7:
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Juegos Topológicos

martes, 18 de diciembre de 2012

ÁRBOL DE PITÁGORAS


Un fractal es una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos que tienen la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian, cualquiera que sea la escala con que se les observe. Por tanto son objetos semigeométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.

Durante siglos se ha ilustrado el Teorema de Pitágoras por medio de una figura que consta de un triángulo rectángulo y tres cuadrados. Con esta figura se puede construir el árbol de Pitágoras, pues basta con reducir y copiar la figura base, de modo que se ajuste a las dimensiones de los cuadrados menores. Este fractal puede ser simétrico o asimétrico dependiendo de si los catetos del triángulo rectángulo que aparece en la figura inicial son iguales o no.


El árbol de Pitágoras es un fractal relativamente reciente, fue construido por un profesor de matemáticas holandés llamado Albert E. Bosman (1891-1961) en 1942. El fractal se origina partiendo de un cuadrado, y lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representar el teorema de Pitágoras.

Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L. Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.

CONSTRUCCIÓN

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre esta plaza se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de las plazas coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos plazas más pequeñas, hasta el infinito. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.

 
ÁREA

La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½√2)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite en el límite n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, y el árbol en realidad tiene un área finita, ya que encaja dentro de una caja de 6 x 4.

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 menor que A, menor que 18, que puede ser reducido aún más con un esfuerzo adicional. Poco se sabe acerca del valor real de A.

Fuente: Wikipedia

 

martes, 11 de diciembre de 2012

LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA NATURALEZA



Benoît Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales». Nació en Varsovia (1924-2010) Es uno de los matemáticos más importantes de nuestro tiempo, desarrolló su trabajo en numerosos campos de la ciencia y el arte. El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.


 
 
Benoît Mandelbrot fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936 su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamardost en este puesto, toma responsabilidad de su educación. Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la “École Polytechnique”, a temprana edad, en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy quien también lo influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Pricenton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Despues de diversas estancias en Ginebra y Paris acabó trabajando en IBM Research.

 
 
 
Benoît Mandelbrot en 1982 publicó su libro “Fractal Geometry of Nature” (Geometría Fractal de la Naturaleza) en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.

 
 
 
Mandelbrot sostiene que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.

 
 
 

martes, 4 de diciembre de 2012

FRACTAL ANIMAL

 

Fractales realizados con Corel PHOTO -PAINT 9


domingo, 2 de agosto de 2009

CIENCIA FICCIÓN Y MARVIN MINSKY

FRAGMENTO DE UNA ENTREVISTA A MARVIN MINSKY

La obra de Marvin Minsky puede resumirse en dos de sus libros: 'La sociedad de la mente', editada en Buenos Aires pero inconseguible, y 'The Turing Option', también editada en castellano. El primer libro es la explicación de sus ideas sobre la inteligencia y el funcionamiento del cerebro, base para todo su trabajo de investigación en inteligencia artificial. El otro es una novela de ciencia ficción, escrita junto a Harry Harrison. Ambos libros expresan su fe en la posibilidad de crear una computadora o un programa capaz de pensar como lo hace un humano.

La base de sus ideas es que la mente no es una unidad, sino una acumulación de 'agentes', cada uno con una tarea específica. Estos agentes interactúan entre sí y el resultado es lo que nosotros llamamos 'pensamiento' o 'comportamiento'. Puede haber dos agentes que traten de hacer lo mismo pero de formas distintas, puede que otros tengan objetivos opuestos, por lo que un tercero debe decidir que hacer. El resultado es una lucha de intereses en nuestro cerebro, de la que somos testigos cuando no sabemos si ir al cine o quedarnos en casa viendo televisión, o no podemos decidirnos entre la morocha de enfrente y la rubia de la otra cuadra. La mente es una sociedad, con sus alianzas, sus guerras, sus discusiones, con agentes que ceden en parte para obtener beneficios luego, o con intrigas para obtener el poder a costa de los demás.


¿Cuando cree que será posible tener máquinas que actúen como un cerebro humano?
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No hay forma de saber cuando, no sabemos cuanto tiempo va a tomar resolver cada problema. Los investigadores no se ponen de acuerdo en qué es lo próximo que hay que hacer, y hacen muchas cosas distintas. La mayoría están equivocados. Eventualmente van a descubrir qué es lo que funciona. La gente estuvo trabajando en esto por unos cincuenta años, y ahora las computadoras pueden hacer muchas cosas interesantes.
Estoy seguro de que en cincuenta años más van a poder hacer casi todo lo que la gente puede hacer. Pienso que la ciencia de la inteligencia artificial es la parte más avanzada de la sicología hoy en día. Cuando aprendamos cómo hacer que una máquina aprenda, probablemente aprendamos algo sobre cómo aprende la gente. No va a ser lo mismo, porque una persona es más complicada que una computadora de hoy, pero todo lo que descubrimos sobre computadoras nos da más información sobre lo que es posible para la gente.Otra forma de decirlo es: antes de las computadoras, la sicología estaba trabada, porque los psicólogos no tenían idea de cómo podía funcionar una máquina que aprendiera.
Ahora, con la inteligencia artificial, tenemos unas diez teorías sobre cómo hacer que las cosas aprendan. Estoy seguro de que los humanos usan cuatro o cinco de esas formas, y las otras no se aplican al cerebro. Ahora los psicólogos tienen muchas ideas nuevas para usar.
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¿Qué busca en una historia de ciencia ficción?
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Es una pregunta maravillosa, porque estamos teniendo una entrevista y me preguntas sobre qué va a pasar dentro de cincuenta años. Creo que para predecir el futuro hay que pensar mucho, y es mucho trabajo. Yo no hago mucho ese trabajo, si quiero saber lo que va a pasar dentro de cincuenta años voy a buscar esas cuatro personas, escritores de ciencia ficción. Es su profesión.
Dicen 'si tuviésemos realidad virtual a bajo costo, ¿qué va a pasar?'.
La última novela de Greg Egan, no me acuerdo de su nombre [Ciudad Permutación], es una novela acerca de la realidad virtual, donde si uno es rico puede ser copiado dentro de la máquina, hacer una réplica de uno dentro de la computadora, para siempre. ¿Cómo cambiaría esto a la sociedad? Sé que esto va a pasar, no sé cuando. Pero hace falta uno de estos escritores con imaginación para poder entender cómo cambiaría esto al mundo. Antes de esta gente mi escritor favorito era Larry Niven.

Ver entrevista completa realizada por Fernando Bonsembiante en: http://www.alanmooresenhordocaos.hpg.ig.com.br/entrevistas85.htm


Diseños fractales y tanka por Lilia Morales y Mori

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IMPONDERABLE CAOS

Cosmos en la
memoria de los hombres.
El todo inmerso
en la nada. Vacío,
imponderable caos.

jueves, 31 de julio de 2008

FRACTALIZANDO UN FRACTAL

 
Interfractal de una composición del rostro del escritor de ciencia-ficción Philip K. Dick
 
Philip Kendred Dick nació prematuramente junto a su hermana gemela Jane, el 2 de Marzo de 1928, en Chicago. Jane murió trágicamente pocas semanas después. La influencia de la muerte de Jane fue una parte dominante de su vida y obra. Sus padres se divorciaron en 1932 y Dick se quedó con su madre. De muy joven comenzó a leer y escribir ciencia ficción y en su adolescencia publicó regularmente historias cortas en el Club de Autores Jóvenes, una columna del Berkeley Gazette.

Durante estos años su salud no fue buena, sufría frecuentes ataques de asma y periodos de agorafobia (fobia a los espacios abiertos, que también Asimov padeció, aunque en menor medida).
A los 18 años, dejó a su madre y se fue a vivir solo. Entre tanto, continuó en contacto con la comunidad intelectual de Berkeley mientras trabajaba como dependiente. El mismo Dick contó que llegó a sufrir inexplicables desmayos en su lugar de trabajo. En 1948, con solo veinte años, Dick contrajo el que fue el primero de un total de cinco matrimonios. Durante la década de los 50, escribió varias novelas de ciencia-ficción.

Su primer éxito fue la novela Lotería solar (1955), y más tarde El hombre en el castillo (1975). A pesar de la paranoia y la animosidad hacia su tercera esposa, en la época de ese matrimonio, Dick inició una de sus más prolíficas y brillantes épocas como escritor. Obras como El hombre en el castillo, Tiempo de Marte, y Los tres estigmas de Palmer Eldricht, fueron escritas durante aquel periodo.

Retirado en una cabaña para alejarse de sus conflictos domésticos, Dick escribió la casi increíble cifra de once novelas entre 1963 y 1964. Su adicción a las drogas le produjo, entre otros problemas, el cuarto divorcio. Después de una tentativa de suicidio y una corta estancia en un centro de rehabilitación, Dick volvió a reencontrarse a si mismo. Su literatura parece en ocasiones escrita por un paranoico y sus angustiosos entornos, como en Ubik y en Fluyan mis lágrimas.

Una de las mayores virtudes de Dick es que produjo ciencia ficción seria y, sobre todo asequible, para el gran público. Fue un escritor consistente y brillante, y de los más originales del género. Curiosamente, es un autor mucho más apreciado en Europa que en los propios Estados Unidos, habiendo países, donde es el escritor de ciencia-ficción por excelencia, en detrimento de otros ilustres como Asimov, Clarke o Bradbury.

En cualquier caso Dick es un autor controvertido, siendo sorprendente para algunos críticos que, habiéndose especializado en la irracionalidad, en el seno de una literatura tan básicamente apartada de ella como es la ciencia-ficción, haya tenido un reconocimiento tan profundo. Philip. K. Dick murió en 1982, de un fallo cardiaco, a la edad de 53 años, dejando un libro inacabado y, sin duda, muchas ideas sin desarrollar.

Fuente: Philip K. Dick


jueves, 29 de mayo de 2008

LOS TRES MUNDOS DE PENROSE

ROGER PENROSE PROPONE UN MODELO FÍSICO DE LA CONCIENCIA




Roger Penrose es uno de los pensadores más originales y creativos de la actualidad y es considerado uno de los físicos más importante que ha trabajado en Relatividad General desde Einstein.

Durante las dos últimas décadas, Penrose ha escrito varios libros que explican su modelo físico de la conciencia. Su última publicación, El camino hacia la realidad (2005), ofrece al lector una revisión crítica, novedosa y profunda sobre los entresijos de las teorías físicas y matemáticas, que lo acercan a una mejor comprensión de la realidad.

Se trata claramente de la obra científica cumbre de quien ha conseguido una especial maestría para desenvolverse en los complejos mundos de la física y la matemática. Sólo en el último capítulo, tras más de mil páginas de física-matemática, subraya la estructura de la realidad a partir de tres mundos (matemático, físico y psíquico), como ya hiciera en obras anteriores. Esta guía completa de las leyes del universo es, digamos, el aval físico-matemático que origina y fundamenta su modelo biofísico de la conciencia.

LOS TRES MUNDOS DE PENROSE



La realidad es una sola unidad clasificable en tres mundos. Por su consistencia interna inmutable el mundo matemático ocupa una posición especial. Al mejor estilo platónico, las matemáticas habitan en un mundo del ser, eterno, armónico y perfecto. Los elementos matemáticos poseen una existencia que sólo puede ser descubierta a través de la inteligencia. Decimos, pues, que es un mundo inteligible.

Existe también un mundo físico. Es la realidad sensible y perceptible a través de las sensaciones. Las ciencias físicas estudian las propiedades de este mundo dinámico e imperfecto, que son susceptibles de comprobación experimental. Es un mundo de luz y de procesos materiales explicables mediante cuatro interacciones básicas descritas mediante elementos del mundo matemático. El fundamento ontológico del mundo físico es matemático.

Además, Penrose incluye un mundo de experiencias psíquicas, personales e intersubjetivas. Es el mundo psíquico donde acontece la conciencia. La conciencia es una propiedad psíquica de algunos seres materiales del mundo físico. Los animales superiores participan de esta dimensión psíquica de la realidad. No podemos decir lo mismo de una roca o de un átomo. Sólo una parte del mundo físico ha producido conciencia. Existe, pues, una relación entre los mundos físico y psíquico.
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Por último, Penrose establece una interrelación entre el mundo psíquico y el matemático, que termina de unificar la realidad. El mundo matemático es aprehendido por un ser físico y consciente concreto. El hombre es capaz de conocer el mundo matemático. Es el único ser del mundo psíquico capaz de contemplar las verdades matemáticas. Gracias al hombre, surge la unidad de los tres mundos: una parte del matemático soporta lo físico, una parte del físico lo psíquico y una parte del psíquico contempla lo matemático. En síntesis, vivimos en una única realidad con tres dimensiones: matemática, física y psíquica.
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Diseños fractales y haikus por Lilia Morales y Mori

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AUSENTE EL DÍA

Como rocío
se diluye en mi mano
la suave brisa.

Besa en el aire
el espacio celeste
de mil luceros.


La luna ilusa
emerge con la noche
ausente el día.